由于双纽线关于两坐标轴均对称,用两次奇偶对称性∫|y|ds=4∫yds积分区域为第一象限部分，下面用极坐标双纽线极坐标方程为：r?=a?(r?cos?θ-r?sin?θ)，即：r?=a?cos2θ两边对θ求导得：2rr'=-2a?sin2θ，即：r'=-(a?/r)sin2θ两边平方：(r')?=(a?/r?)sin?2θ，将r?=a?cos2θ代入得：(r')?=a?sin?2θ/cos2θds=√(r?+(r')?)dθ=√(a?cos2θ+a?sin?2θ/cos2θ)dθ=a√((cos?2θ+sin?2θ)/cos2θ)dθ=a√(1/cos2θ)dθy=rsinθ=a√(cos2θ)sinθ∫|y|ds=4∫yds积分区域为第一象限部分=4∫[0--->π/4]a√(cos2θ)sinθ*a√(1/cos2θ)dθ=4a?∫[0--->π/4]sinθdθ=-4a?cosθ|[0--->π/4]=4a?(1-√2/2)=2a?(2-√2)。
